宇宙的能量从哪来？宇宙学里能量守恒吗？

// 这是一篇比较技术性的讨论，不是特别科普，需要引力基础。写这篇文章的原因是，和 @王清扬 讨论相关问题，但是知乎的网页聊天功能貌似不太好用 ，消息基本发不过去 (*/ω＼*)。鉴于相关问题在网上见过好几次，这里整理一下。

要讨论宇宙学情况下能量是否守恒，先要定义什么是能量。

通常，我们至少可以通过以下四种方式定义能量：

1. Noether 定理（Noether 第一定理），通过时间平移不变性定义守恒的能量。在广义相对论里面这相当于用类时 killing 矢量定义守恒的能量。但是宇宙学里，宇宙膨胀破坏时间平移不变性，所以这样不能得到守恒的能量。

2. 考虑引力在无穷远的渐近行为。例如如果时空满足渐近平坦或稳态等性质，则可以通过 ADM formalism 定义能量（渐近平坦 - ADM 和 Bondi；稳态 - Komar 质量）。但是宇宙也不满足这样的条件。

3. 可以通过物质的能量动量张量（即作用量对度规变分）定义能量。这样定义的能量一定是“协变守恒”的，即 。但是，“协变守恒”不包括引力势能，也并不是我们通常说的能量守恒。我们通常说的能量守恒是能量密度乘以体积等于常数。但在宇宙学中，“协变守恒”体现为 continuity equation： ，恰好说明了在有压强的情况下物质能量不守恒。

4. 可以通过 ADM formalism 里面的 Hamiltonian constraint 定义能量。把度规进行 ADM 分解之后，作用量里和 lapse function N 相关的项是一个 first class constraint：N H，解这个约束就得到 H=0。这个结果可以解释为引力加物质总的哈密顿量恒等于零。有人把这个结果解释为，引力的负能量恰好抵消了物质的正能量，所以总能量守恒，等于零。但是，这个守恒定律是 trivial 的，不能给我们有用的结论，只能形式上给我们一个引力的能量定义。更形式化地说，这其实就是 Noether 第二定理，就是说，规范对称性给出的守恒量是 trivial 的。

所以，讨论宇宙学情况下能量是否守恒，要首先明确讨论的是怎么定义的能量。然后在那个定义的框架下，应该一切讨论都是自洽的。