斯坦福大学量子力学学习笔记——5.4本征方程和本征能量

iseeyu2年前 (2025-01-06)推广165

上一节求出了粒子在箱子中的波方程解如下所示：

因为n只能取正整数，因此我们能量的取值不是连续的为，我们将n的取值称为本征值（eigenvalues），的取值叫做本正能量（eignenergies），对应n的波方程称为本征函数（eigenfunctions）。

简并（degeneracy）

再此我们要介绍一个概念叫做简并（degeneracy），定义为：

对应同一个本征值，有超过一个的本征方程，此时波函数存在简并。对应的简并方程个数称为 the degeneracy，比如一个本征值有三个本政方程的解，那么其简并性为3。我们在之后的课程将详细讨论，简并性。

奇偶性（parity）

波函是具有对称性的我们在势阱中画一条平分线BB',

在n=1时，BB’左右两测的本征波函数曲线是镜面对称（mirror imgae），我们将这种镜像对称称为偶对称（even parity）或偶函数（even function），n=3的时候也是欧对称，当n为奇数时的本征函数都为欧对称。

在n=2时，BB’左右两测的本征波函数曲线是反向对称（inverted imgae），函数的取值，是另一次镜像对称位置取值的负数。我们将这种反向对称称为奇对称（odd parity）或奇函数（even function），n=4的时候也是奇对称，n为偶数时的本征函数都为奇对称。

这种奇偶性在数学处理上会让我们节省很大的力气，因为有时积分会左右抵消，因此极大减少计算量。

总结

我们现在总结一下第五章，我们求解一一个粒子在无限深势阱里面的波函数，结果由于边界限制条件，能量出现了量子化，即能量的取值不连续，我们将不同能量的取值称为本正能量，每一个本征能量有对象的本征波函数。

这和我们的宏观世界有什么不同呢，我们从以下几个角度考虑：

1.粒子的能量不在连续，而是出现了分立的取值

2.粒子的可能能量取值出现了最小值，即当本征值为1的时候，粒子的能量最小 ,粒子的能量永远不可能小于这个值，我们将这个能量称为0点能量（zero-point energy）。这是由于量子限制效应决定的，当减小时，也在减小。这种势能在空间尺寸上的限制，导致在势阱中的例子存在最小能量，并且限制的尺寸越小，粒子的能量越大。这种量子限制效应（Quantum Condinement）没有经典的现象去对应，但在量子力学中却十分常见，因此我们在这里需要加强理解。

3.粒子在箱子里不是均匀分布的。这在经典力学中也没有对应的例子。不仅如此，量子力学中同一粒子对于不同的本征值，粒子的分布是不同的。比如对于n=1，我们最有可能在中心点M找到粒子，而对于n=2时，在该点M'找到粒子的概率为0.

并且在空间上存在某些点波函数是0，即存在概率是0。这中本征函数的分布，有点类似于驻波（standing wave）。即使如此，也不存在拥有这种性质的经典系统。

4 数量级物理概念，现在我们假设一个电子被限制在0.5nm大小的箱子内（晶格常数一般在0.1nm的数量级）我们可以计算出，最小能量的大小为0.15eV左右：

第二阶能量和第一阶能量的差值约为，这个数值和一般原子第一能级和第二能级的差值相近。

通过这个求解，我们了解了量子力学和我们所理解的经典世界的不同，我们首先接受了的德布罗意的假设，然后带入了亥姆霍茨方程，得到了薛定谔方程。之后我们计算了一维无限深势阱波函数求解，根据边界条件，求得的粒子的能量取值是分立的，即能量本征值。根据求得的结果，我们知道粒子的能量存在零点即 ,这个能量不是势阱中的最低能量，而是和限制尺寸有关的，尺寸越小，零点能量越大。并且波函数有多个本征能量，不同的本正能量对应的本征函数不同，并且粒子在势阱中的存在概率存在零值。