电磁场的守恒定律：动量、能量与角动量

最近在《打 电 动》，写个专栏权当笔记记录一下。以下主要参考自格里菲斯。

能量守恒：坡印廷定理

假设区域 中有电荷分布 ，则单位体积上受到的电磁力为：

电磁场做功为：

注意到 ，故 中第二项（也就是洛伦兹力项）不做功。所以全区域 上电磁力总功率为：

利用麦克斯韦方程组，把 用场量表示：

利用矢量微分法则： 以及麦克斯韦方程组 进一步化简：

上式中， 为坡印廷矢量，是电磁场单位时间内通过单位表面积向外部传递的能量。上式即为坡印廷定理。

上面定理等号左边为电磁场做功，它实际转化为了区域中粒子的机械能或其他形式能。右边第一项曲面积分即为此区域向外传递的能量，第二项即为区域中场能的变化。

若记区域中机械能的能量密度为 ，同时记 为电磁场的能量密度，那么上式也可以写成微分形式：

以上是针对真空中的电磁场的讨论（或者说，我们不区分电荷/电流到底是自由电荷/电流还是束缚电荷/电流）。在介质中，我们更关心构建系统中自由电荷所需要的能量。这时需要把以上讨论中的电荷分布 与电流分布 改为自由电荷分布 与自由电流分布 ，推导中用到的麦克斯韦方程组改为介质中的。

可见，此时电磁场能量密度的时间变化率为 （这里没有利用本构关系，请与线性介质下的公式相区分！）。坡印廷矢量变为 （同样地，这里也不需要知道本构关系）。

动量守恒

现在考虑电磁场中粒子的动量。单位体积单位时间内粒子动量的变化即为单位体积上的电磁力 。故对全空间：

利用麦克斯韦方程组，全部换成用场量表示：

最后一步用到了分部积分，把对电场的时间偏导转成了对磁场的。利用麦克斯韦方程组进一步化简：

在右式上再加一个恒为0的项 ，不会影响结果。利用矢量微分规则，继续化简：

我们定义麦克斯韦应力张量 : ，其中 是Kronecker 符号。它的物理意义就是电磁场作用在单位表面积上的应力（压力/剪切应力）。然后就可以注 意 到

（如果想要验证上式，只需把 算符视为一个普通的向量，验证左右两边的各分量对应相等即可。）

这样，将动量式化简为

这个式子结构上和坡印廷定理非常相似。等号左边是区域中粒子所受电磁力合力，也是（机械）动量变化率。等号右边第二项表示的是电磁场本身动量 的时间变化率，第一项表示的是穿过区域边界流入的动量。

若记区域中机械动量密度为 ，电磁场动量密度为 ，那么上式也可以写成微分形式：

这样，可以看出， 表示动量流密度， 表示单位时间内通过 方向的单位面元沿 方向的动量。这是 的另一个物理含义。

以上是对真空中的电磁场的讨论。对于介质中的情况则非常复杂。事实上，除了在线性介质中，我们很难明确区分动量的来源从而给出场的动量的明确定义。在一般情况下，出于对这一问题的不同认识，可以得到不同形式的动量密度与麦克斯韦应力张量。因此，我就简单地类比之前的，用自由电荷分布 与自由电流分布 来代替 和 ，得到动量密度的一种形式：

我就暂时把最后一个式子的第一项写成张量的散度的形式了，只是定性地认为这一项表示了区域表面的动量流。而第二项则给出了介质中电磁场动量密度的闵可夫斯基形式：

角动量守恒

由上面的推导知道，真空中电磁场的动量密度为 。那么立刻可以知道真空中角动量密度为 。

可见，只要 ，静场也会有动量和角动量。考虑经典的动量或角动量守恒时，必须要将电磁场的那一部分也包含在内，才能得到正确的结果。例如Feynman盘佯谬，在计算了电磁场的角动量以后仍然是守恒的。