信号频域分析方法的理解（频谱、能量谱、功率谱）

频谱

频谱：周期信号分解后，各分量的幅度和相位对于频率的变化，分别为幅度谱和相位谱。

频谱图：将幅度和相位分量用一定高度的直线表示； 其中幅度谱图反映了信号不同频率分量的大小。

的频谱图如下

注意 要化为标准形式，即余弦形式，再求得周期即可绘图。如果转化为双边的话，振幅为偶函数，相位为偶函数。

能量谱

信号能量：信号(电压或电流) 在1Ω电阻上的瞬时功率为 , 在区间 的能量为 。

如果信号能量有限，即 称为能量有限信号， 简称能量信号。例如门函数，三角形脉冲，单边或双边指数衰减信号等。

帕斯瓦尔方程（能量方程）

能量密度谱：单位频率的信号能量。为了表征能量在频域中的分布情况而定义的能量密度函数 ，简称为能量频谱或能量谱。

在频带 内信号的能量为 ，因而信号在整个频率区间 的总能量为：

通过和帕斯瓦尔能量方程比较可以得出：

分析可知：能量有限信号的能量谱 与自相关函数 是一对傅里叶变换,即 。

其中 。

信号的能量谱 是 的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。单位：J·s。

功率谱

信号功率：时间 区间上信号 的平均功率，即：

功率谱：又称功率密度谱，单位频率的信号功率， 。信号的功率谱 是 的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。单位：W·s

维纳-辛钦(Wiener-Khintchine) 关系

功率有限信号的功率谱P (ω)与自相关函数R(τ) 是一对傅里叶变换，即 。

注意此时的自相关函数为

频带宽度

在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。

(1) 周期矩形脉冲信号，频带宽度为第一个零点，频带宽度为 ，约占总能量的90.3%。
(2) 对于一般周期信号，将幅度下降为 的频率区间定义为频带宽度。
(3) 系统的通频带>信号的带宽，才能不失真。

周期信号的频谱

周期矩阵脉冲函数，指数形式傅里叶级数的系数为： ，

注. ，基频： ，幅度： ，两零点间谱线数：

周期信号频谱的特点

(1) 离散性：以基频 为间隔的若干离散谱线组成；
(2) 谐波性：谱线仅含有基频 的整数倍分量；
(3) 收敛性：整体趋势减小。

频谱的收敛性

(1) 振幅是收敛的：信号的能量主要集中在低频分量中。
(2) 收敛具有不同速度： 信号连续光滑，幅度谱快速衰减。

非周期信号的频谱

当 时，周期信号非周期信号

为什么要有功率谱

既然我们可以利用傅里叶变换将时域的信号转化为频域信息，最终也能还原回时域，为什么还需要功率谱？

因为在信号的传输过程中，会加入一些噪声，而噪声是没有对应的频谱信息的，例如白噪声的频谱是一条直线。

而且在信号传输过程中，接收端收到的信号不可能和发送端一模一样，是一个随机信号。而傅里叶变换是针对确定信号的。即随机信号的频谱是不存在的。但大部分随机信号是平稳的，而平稳随机信号的功率谱是存在的。^[1]

【参考文献】

信号频域分析方法的理解（频谱、能量谱、功率谱、倒频谱、小波分析）

参考

1. ^通信原理中，为什么研究一个信号不用频谱而是用功率谱？https://www.zhihu.com/question/46719790