狭义相对论质量公式推导

提示：如果仅想快速了解质量公式推导方式，建议直接点击“方法（三）”

背景及基本假设

狭义相对论的基本假设：

1. 物理学定律在所有惯性系中具有不变的形式（物理定律形式不变，且所有惯性系的地位等同）

2. 自由空间光速不变

已得到洛伦兹变换、速度变换、加速度变换的运动学规律。

其中相对论速度变换如下（S'系相对S以v朝x轴正方向移动）：

\begin{cases}u_x'= \frac{u_x-v}{1- \frac{vu_x}{c^2} }\\u_y'= \frac{u_y \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} } }{1- \frac{vu_x}{c^2}} \\u_z'= \frac{u_z \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} } }{1- \frac{vu_x}{c^2}} \end{cases}\\

在洛伦兹变换下，加速度不是不变量，与牛顿力学不符，现希望得到符合相对论原理的新的动力学规律。

在推出加速度变换时，发现形式极为复杂，于是猜测：力与加速度不再有牛顿力学中的主导地位；动量守恒、能量守恒定律可能更加本质。

现在希望：在承认相对论原理、孤立体系的动量、能量在所有惯性系中守恒的基础上，寻找动量、能量、力的具体定义和表示形式。

推导动量形式的思路

因为还未得到能量和力的具体形式，要避免利用。

设想动量的表示形式为\mathbf{p}=m(u)\mathbf{u}。

为避免涉及力的形式，可研究两个质点碰撞。讨论碰撞满足动量守恒、能量守恒和相对论原理时，动量应满足的条件，其实也就是质量m(u)应满足的条件。

但质点碰撞还涉及“机械能是否守恒”问题。不管碰撞是“弹性”还是“非弹性”，既然还未明确能量的具体形式，难以断言碰撞后速度情况。对于这个问题，在下面的分析中继续讨论——我们会发现，关键在于“初始条件具有对称性”。

用完全弹性碰撞推导

承认能量守恒的基础上，我们认为：“完全弹性碰撞”需要满足的“机械能守恒”也可以发生。但如上所述，还未得到能量的具体形式，难以判断满足机械能守恒的速度结果。那么，命名为“用完全弹性碰撞推导”是否欠妥？

但下面会看到，方法（一）、方法（三）利用对称性，能直接基于机械能守恒断言碰撞后速度；方法（二）不能直接依据机械能守恒进行判断，实际却也隐含了“机械能守恒”条件，故在此将三种方法皆称为“用完全弹性碰撞推导”。

方法（一）

假设S0参考系有两个完全相同粒子(质量m(u)的函数形式，形状等等都相同，总之全同)，以完全相同速率相向运动，总动量为0，碰撞后能互成一定角度离开（非对心碰撞）。

1. 为满足动量守恒，碰撞后粒子速度方向必须正好相反。
2. 粒子之间完全相同，为满足对称性，碰撞后两粒子间速率应完全相同
3. 又设此碰撞是完全弹性碰撞，满足“机械能守恒”。则碰撞后速率与碰撞前相同——碰撞前后所有物理量都相同，对此可断言“碰撞是满足机械能守恒的弹性碰撞”了。

至此，利用对称性及机械能守恒，S0中碰撞情形已完全确定。还须使其满足相对论变换条件——在另一参考系S1中，也满足动量守恒。

设u_x=v。

将坐标如图建立在粒子A、B的对称轴上，假设S1相对S0以v沿x轴负方向运动，使粒子B无水平速度，以便计算。

S1中满足y方向动量守恒,得到:

m(u_1')u_y'=m(u_2')u_2'\\

A粒子S0与S1的速度变换关系满足：

u_y= \frac{u_y' \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} } }{1- \frac{vu_x'}{c^2}} ，v= \frac{u_x'-v}{1- \frac{vu_x'}{c^2} }\\

B粒子S0与S1的速度变换关系满足：

u_y= {u_2 \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} }}\\

计算得到:

\frac{u_2'}{u_y'}= \frac{1}{1- \frac{vu_x'}{c^2} }\\

v= \frac{c^2}{u_x'}(1- \sqrt{1- \frac{u_x'^2}{c^2} } )\\

故有:

m(u_1')= \frac{m(u_2')}{1- \frac{vu_x'}{c^2} }\\

m(u_1')= \frac{m(u_2')}{\sqrt{1- \frac{u_x'^2}{c^2} }}\\

取u_y=u_y'=0,则S1中B粒子静止，A粒子速度为u_x'，有：

m(u_x')= \frac{m(0)}{\sqrt{1- \frac{u_x'^2}{c^2} }}\\

即质量变换关系。

方法（二）

设S1中，全同粒子A、B碰撞，碰撞前速度为u_1'和u_2'，A的速度分量为 u_x' 和u_y'，B无水平速度分量。
S2相对S1以u_x'沿x轴正向运动，碰撞前速度在S2中有对称情形。

设u_x'=v。
则为满足S1至S2变换前后速度的对称性，有：

u_y'=u_2'{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\

1. 设S1中，B被反方向弹回，速度\overline{u_2'}
   (注：这里难以依据“满足机械能守恒的弹性碰撞”得到碰撞后速度，因为碰撞前两球速度不同，无法根据两球的对称性得到结果，能量形式又未知；但“机械能守恒”实际隐藏在S1与S2变换的对称性中，下面可以看到）
2. 根据S1至S2变换前后速度的对称性，S2中A也以\overline{u_2'}原路返回，无水平速度
   于是S1中A碰撞后水平速度仍为v。

1. S1中水平方向动量守恒，有：

m(\overline{u_1})v=m(\overline{u_1'})v\\

A、B全同粒子，质量m(u)的函数形式相同，故有：

\overline{u_1}=\overline{u_1'}\\

于是也有\overline{u_2}=\overline{u_2'}，S1中碰撞前后速度对称（所以现在也可断言机械能守恒了）。

至此，利用参考系变换前后速度的对称性和x'方向动量守恒，S1中碰撞情形已完全确定。
还须使其满足y'方向动量守恒，故有：

m(u_1')u_y'=m(u_2')u_2'\\

即：

m(u_1')=\frac{m(u_2')}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\

取u_y'=0,则S1中B粒子静止，A粒子速度为v，有：

m(v)= \frac{m(0)}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} }}\\

即质量变换关系。

方法（三）

看到这里是否已经发现，其实S0，S1，S2均为同一种碰撞情形在不同参考系中的表现?

设S0参考系有两个完全相同粒子以完全相同速率相向运动，碰撞后能互成一定角度离开。

由对称性及弹性碰撞机械能守恒（见（一）），S0中碰撞前后速度确定，全同。

设S1相对S0以u_x沿x轴负方向运动，S2相对S0以u_x沿x轴正方向运动，则S1与S2速度一定对称。

已得到各参考系碰撞前后速度关系。

S1与S2速度变换满足:

u_y'=u_2'{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\

再使S2满足动量守恒，即可同（二）得到质量变换关系。

讨论

其实S0，S1，S2均为同一种碰撞情形在不同参考系中的表现。方法（三）最充分地利用了对称性。

在推导（一）、（二）时，也许隐约感到不爽快——

（一）虽然充分利用粒子全同的对称性，S0到S1的速度变换却缺乏对称性，导致计算却过于复杂。

（二）虽然充分利用S1到S2的速度变换对称性，却难以直接得到\overline{u_1}=\overline{u_1'}的结果，通过参考系变换的对称性才得到\overline{u_1}=\overline{u_1'}，这实际是难以直接使用“机械能守恒”条件。

原因在于，实际（一）、（二）都没有以参考系变换角度“看到全貌”——

通过（三）就可以反过来发现，S0像是参考系变换中S1与S2的一种“对称中心”。

1. （二）中S1、S2之间一定有完全对称的情形S0，（二）的假设也确实满足“机械能守恒”
2. （一）的S1也必定可以再另一个参考系下得到与之对称的情形S2。
3. 实际上，之后可以发现，这样的碰撞系统在惯性系下机械能守恒不变，全同粒子的碰撞总能通过合适的参考系变换变成如S0中速率相同的相对碰撞
   
   

充要性

以上即质量变换的三种推导。

我们仅以相对论原理、动量守恒、能量守恒（特别地，弹性碰撞机械能守恒）为基础，利用对称性得到了动量的形式。

但这是仅讨论具有对称性的碰撞情形，基于动量形式的假设，得到的动量应满足的形式。它含有假设，且是个必要条件。

所以其实还需要反过来证明充分性：若动量取此形式，在洛伦兹变换下确实有“孤立体系的动量在所有惯性系下都守恒”。

即，若在惯性系S中有动量守恒：

\sum\limits_i{\mathbf{p}}_i= \sum\limits_im_i{\mathbf{u}}_i=\sum\limits_i{ \frac{m_{i0}}{ \sqrt{1-{\frac{u_i^2}{c^2}}} } }{\mathbf{u}}_i=const\\

则在另一惯性系S'中也有动量守恒：

\sum\limits_i{\mathbf{p}}_i'= \sum\limits_im_i{\mathbf{u}}_i'=\sum\limits_i{ \frac{m_{i0}}{ \sqrt{1-{\frac{u_i'^2}{c^2}}} } }{\mathbf{u}}_i'=const\\

下面就对充分性进行证明。

设S'相对S沿x轴正向以v运动，计算得到动量的变换式为：

\begin{cases}p_x'= \frac{p_x}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} } }-\frac{m_0v}{{\sqrt{1- \frac{u^2}{c^2} }}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} }}} \\p_y'=p_y \\p_z'=p_z \end{cases}\\

会发现，判断p_y'与p_z'守恒没有困难，p_x'中多了一项，难以判断守恒。

这是因为忘记了一点：在上文就提到，推导动量形式的过程中，还有基本假设：能量守恒成立。至此还没有用上这个条件。

这里就需要用到能量的具体形式了。因上面已得到动量的形式，可以推得能量的具体形式，并加以利用了。

首先明确力的具体形式——仍保留牛顿力学“作用于质点上的力等于该质点动量的变化率”这一定义，即：

\mathbf{F}= \frac{\text{d}\mathbf{p}}{\text{d}t}\\

再推导能量的具体形式。

仍保留牛顿力学中做功的定义，及动能定理“力对质点做功等于质点动能的增加”，即：

W= \int_{a}^{b} \mathbf{F} \cdot{\text{d}\mathbf{r}}=E_{k2}-E_{k1}\\

但动能形式有所改变：

E_{k2}-E_{k1}= \int_{a}^{b} \frac{\text{d} \mathbf{p} }{\text{d}t} \cdot {\text{d} \mathbf{r}}=\int_{a}^{b} {\text{d} \mathbf{p}} \cdot \frac{\text{d} \mathbf{r} }{\text{d}t}= \int_{a}^{b} \mathbf{u}\cdot\text{d}\mathbf{p}= \int_{a}^{b} \frac{\mathbf{p}\cdot\text{d}\mathbf{p}}{m}\\

注意到:

p={ \frac{m_{0}}{ \sqrt{1-{\frac{u^2}{c^2}}} } }u\\

m^2c^2-p^2=m_0^2c^2\\

两边微分，得：

\mathbf{p}\cdot\text{d}\mathbf{p}=mc^2\text{d}m\\

代入得：

E_{k2}-E_{k1}=\int_{a}^{b} c^2\text{d}m\\

取初态u=0，对应动能E_{k1}=0，质点质量为m_0，有：

E_k=c^2\int_{m_0}^{m}dm=mc^2-m_0c^2\\

这就是爱因斯坦的重要假设：质点的总能量即E=mc^2，总能量等于动能E_k及静能m_0c^2的总和。

会发现这种假设下，动能在低速下的确符合牛顿力学中的动能形式；也与实验结果相符。

在这种能量的定义下，如果S系中满足能量守恒，即：

\sum\limits_i{E}_i=\sum\limits_im_{i}{c^2}=\sum\limits_i{ \frac{m_{i0}}{ \sqrt{1-{\frac{u_i'^2}{c^2}}} } }{c^2}=const\\

p_x的后一项也就守恒：

p_x'= \frac{p_x}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} } }-\frac{m_0v}{{\sqrt{1- \frac{u^2}{c^2} }}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} }}}=\frac{p_x-{\frac{vE}{c^2}}}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} } }=const\\

于是S'中动量守恒得证。

其实由于得到能量具体形式的过程中，做出了一定假设，在此也可以验证一下此能量形式满足最初的基本假设：能量在各惯性系守恒。

即，若在惯性系S中有能量守恒：

\sum\limits_i{E}_i= \sum\limits_im_ic^2=\sum\limits_i{ \frac{m_{i0}}{ \sqrt{1-{\frac{u_i^2}{c^2}}} } }c^2=const\\

则在另一惯性系S'中也有能量守恒：

\sum\limits_i{E}_i'= \sum\limits_im_i'c^2=\sum\limits_i{ \frac{m_{i0}}{ \sqrt{1-{\frac{u_i'^2}{c^2}}} } }c^2=const\\

设S'相对S沿x轴正向以v运动，发现能量变换式满足：

E'=\frac{E-vp_x}{\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}}\\

则若S中动量守恒且能量守恒，S'中能量守恒。

在这样的动量与能量定义下，能量守恒则动量守恒，反之亦然；能量在惯性系中皆守恒则动量在惯性系中皆守恒，反之亦然，两者密不可分。

这样的动量与能量定义也满足最初“孤立体系的动量、能量在所有惯性系中守恒”的基本假设。

总结

我们以相对论原理、动量守恒、能量守恒（特别地，弹性碰撞机械能守恒）为基础，加以适当假设，得到了动量的具体形式，又由此得到了力与能量的具体形式。

假设对于推导是必须的。需要时刻明确推导的基本假设，避免引入过多新的假设。同时要保证假设的合理性：低速下能转化为牛顿力学形式；与实验结果吻合；理论验证符合预期。

以上推导仅关注如何一步步基于基本假设得到新的动力学规律。实际在狭义相对论提出的过程中，思考顺序应该不同，也有实验进行佐证，值得继续了解。

推导过程中，也体会到动量和能量的密不可分。接下来可以继续探索其关联性。

参考文献

[1]Robert Resnick: Introduction to Special Relativity, john wiley & sons, inc., 1968, pp.112-114.

[2]郑永令，贾起敏：《力学》，高等教育出版社2018年版，第390-392页。

[3][美]费恩曼：《费恩曼物理学讲义 第一卷》，郑永令等译，上海科学技术出版社，2013年版，第173-175页。

第一次发文章，本人学术不精，只是对于看到的资料做出总结与思考，可能有很多问题，欢迎大家做出纠正或补充呀！

也是第一次用markdown写文章,比较小白，排版不太好，图也是手绘的，不知道怎么画图比较好。。。也欢迎大家提些建议。

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