电子的能量和动量该怎么写？

图片是一张康普顿散射示意图，先暂时忽略图中的公式。

根据动量守恒和能量守恒，有：

碰撞前电子能量+碰撞前光子能量=碰撞后电子能量+碰撞后光子能量； 碰撞前电子动量+碰撞前光子动量=碰撞后电子动量+碰撞后光子动量。

假设我们已经认可光子能量 E=h\nu， h 为普朗克常数， \nu 为光子频率，和光子波长 \lambda 和光速 c 的关系是 \nu=\frac{c}{\lambda} ，也认可光子动量 \vec{p}=\frac{h\nu}{c}\vec{e} ，其中 \vec{e} 为光子运动方向上的单位向量。

那电子的能量和动量应该怎么写呢？现在有两个理论

理论甲：

电子能量 E=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}} ，电子动量 \vec{p}=m\vec{v}=\frac{m_{0}\vec{v}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}} （1）

其中 \vec{v} 为电子速度， v=|\vec{v}| 为电子速率， m_{0} 为电子的静止质量。

理论乙：

电子能量 E=\frac{1}{2} m_{0}v^{2} ，电子动量 \vec{p}=m_{0}\vec{v} （2）

按照理论甲和能量守恒与动量守恒，可以得到方程：

h\nu_{0}+m_{0}c^{2}=h\nu+mc^{2}=h\nu+\gamma m_{0}c^{2} （3）

\frac{h\nu_{0}}{c}\vec{e_{0}}=\frac{h\nu}{c}\vec{e}+m\vec{v}=\frac{h\nu}{c}\vec{e}+\gamma m_{0}\vec{v} （4）

\nu_{0} 为碰撞前光子的频率， \nu 为碰撞后光子的频率。碰撞前认为电子静止。

\vec{e_{0}} 为碰撞前光子运动方向的单位向量， \vec{e} 为碰撞后光子运动方向的单位向量，有 \vec{e_{0}}\cdot\vec{e_{0}}=1 , \vec{e}\cdot\vec{e}=1 , \vec{e_{0}}\cdot\vec{e}=\cos \theta ， \theta 为碰撞后光子运动方向与碰撞前光子运动方向的夹角。

解这个方程组，可以得到

\nu=\frac{\nu_{0}}{1+\frac{h\nu_{0}}{m_{0}c^{2}}(1-\cos \theta)} （5）

这是一个关系式是关于出射光子（也就是碰撞后的光子）的频率和方向（方向表现为相对于入射方向的角度 \theta ），按照这个理论，在不同的角度我们可以测到不同频率的光子，光子的角度-频率关系如（5）。

类似，通过理论乙，也就是（2）式，以及能量守恒和动量守恒，我们可以得到另一个方程组：

h\nu_{0}=h\nu+\frac{1}{2}m_{0}v^{2} （6）

\frac{h\nu_{0}}{c}\vec{e_{0}}=\frac{h\nu}{c}\vec{e}+m_{0}\vec{v} （7）

从这个方程组也可以联立得到一个关于 \theta 和 \nu 的关系的式子：

\nu=\frac{1}{2h^{2}}[(2h^{2}\nu_{0}\cos\theta +2m_{0}c^{2}h)\pm \sqrt{(2h^{2}\nu_{0}\cos\theta+2m_{0}c^{2}h)^{2}-4h^{2}h\nu_{0}(2m_{0}c^{2}-h\nu_{0})}] （8）

请问如何判断甲理论和乙理论的正误呢？我们可以通过判断（5）式和（8）来进行。

我们可以用下面的装置测出散射光子的频率（测出波长后频率容易得到）和散射角（图中装置的散射角 \varphi 相当于我们的 \theta ）的关系。

如果这个关系和（5）更接近，和（8）相差很大，就说明甲理论更符合目前的研究，反之，则乙理论更符合。

我们知道，目前康普顿散射实验得到的结果和（5）更相符，所以甲理论目前更符合实际，即电子的能量和动量应该分别为：

E=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}, \vec{p}=\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}} （9）

即，在接受光子能量和动量表达的情况下，康普顿效应验证了电子的能量和动量的表达式。如果一个理论推导出 的电子的能量和动量表达式如（9），那康普顿散射实验就没有证否这个理论，可以作为支持这个理论的证据。