力学中的能量原理（一）

能量原理贯穿整个力学。在高中我们就学习了动能定理。在大学学习了理论力学，又有了虚位移原理。到了材料力学与结构力学又学习了所谓的单位载荷法。一直到弹性力学，我们学习了虚功原理，虚位移原理，最小势能原理，虚应力原理，最小余能原理，到了塑性力学我们还是要讲能量，学习塑性功。我们有必要理一理这些能量原理之间的关系。

在说能量之前，先要明白两种功。实功与虚功。我们把力与其自身所引起位移上的功做实功，简称称功。把力与其它因素作用产生的位移下的功叫做虚功。这里分析物体有两种状态，力状态与位移状态。这种满足静力平衡方程与力边界条件的力状态又叫静力可能应力。满足几何方程和位移边界条件的位移状态又叫几何可能位移。要注意静力可能应力和几何可能位移是互不关联的。

从一般的力学出发，我们可以不用限定是弹性还是非弹性，因为这两者的区别仅仅是本构方程不同。假设在小变形条件下。可以推导出虚功原理。这里先不去推导它，我们是从它出发来推导力学中的其它原理。

虚功原理简单的讲就是外力虚功等于内力产生的虚应变能。

这里上标带波浪号的表示一组静力可能应力，上标带横线的表示一组几何可能位移。表达式左边计算的是内力虚功，注意虚功所以没有 \frac{1}{2 } ，右边计算的是体力和表面力也就是外力的虚功，集中力不单独考虑。这是虚功原理最普遍的形式。表达是就是外力虚功等于内力虚功。

这里有力状态（静力可能位移）与位移状态（几何可能应力）两种状态，虚功原理在具体应用时有两种方式：

1. 对于给定的力状态,另虚设一位移状态。用虚功方程来求解力状态中的未知力,这时的虚功原理可称为虚位移原理，在理论力学中就是这样的应用。
2. 虚功原理的另一种应用方式则是对给定的位移状态,另虚设一个力状态,利用虚功方程来求解位移状态中的位移,这时的虚功原理又可称为虚力原理,也就是在材料力学和结构力学中学的单位载荷法。

回到弹性力学中最一般的虚功原理。对位移进行变分，得到虚位移原理。所谓的变分，就是取两个有微小差别的位移状态，上标有两横线表示固定不变的量。

注意在位移边界是给定位移，不能变化。将两个虚功原理相减得到

其中 \delta \varepsilon_{ij}=\delta\varepsilon_{ij}^{(2)}-\delta\varepsilon_{ij}^{(1)} 称为虚应变， \delta u_{i} 称为虚位移。这里的力状态是实际的状态。

可以得到虚位移原理表达式

基于此可以推导最小势能原理

其中 A 表示应变能密度

所以

可以得到最小势能原理表达式

这里定义了 势能 \Pi =应变能 U - 外力功 V _{P} 外力势能等于外力功的负值。对于保守力，外力做功等于势能的减少，但是我们并没有规定力是保守力，这里有外力势能的概念是基于弹性力学小变形假设。

同理我们可以对力状态进行变分，取两个相近的力状态，按相同的可以得到虚应力原理。在力学中，以位移变分的虚位移原理用的多，这里应力变分的虚应力原理不做过多介绍。

将变分号提出来，得到了最小余能原理

现在来看材料力学或者结构力学里面提出的能量原理是怎么从弹性力学虚功原理进行简化。

结构力学中介绍的虚功原理表达式和弹性力学一致，但是在具体的计算时有简化。在计算虚功时，弹性力学是从应力应变角度计算，而结构力学中对模型行了简化，对应于杆系结构，用内力描述更为方便，所以内力虚功表述为轴力，弯矩，剪力这三种内力产生的虚功，计算表达式为

其中积分表示每一根杆件上的能量，求和表示有多根杆件。力状态与位移状态还是独立的，位移计算表达如下，这是基于材料力学中的假定，和弹性状态得到的：

单位载荷法是能量原理的一种有效应用，可以求结构任一点的位移。结构在原有力系上产生的位移状态为实际状态，在要求的位移点处施加一个单位载荷作为一种虚拟状态。两种状态不相关。

外力虚功等于力状态在位移状态上的乘积，力只在施加点处有单位值，所以外力的虚功

W=\Delta\bullet1

内力虚功按内力计算为

由虚功原理，就得到了大名鼎鼎的单位载荷法求广义位移的计算公式

公式右边分别代表轴力，弯矩，剪力的作用，在有些模型中不考虑剪力，或者单独考虑轴力或弯矩，这样还可以进行简化。基于此，图乘法等就相应的可以应用了，这里不做介绍。结构力学或者材料力学中的其它能量原理，如几种互等定理，都可以从弹性力学能量原理进行简化推导而来 。

接下来我们看理论力学中提到的虚功原理

理论力学中的虚位移原理描述的是外力在所有的几何可能虚位移下的虚功之和为零。

数学表达式为

因为理论力学描述的是刚体，刚体不计变形，所以内力虚功恒为零，所以理论力学的虚功原理是弹性力学虚功原理的另一种简化。描述了外力虚功等于内力虚功等于零。在理论力学中常常是施加单位位移作为虚设状态来求某个未知的力。这与单位载荷法不同。

以上介绍了几种常见的力学中的能量原理表示的形式，这其实都是弹性力学虚功原理的变形形式，但是还没我们还有证明这个原理。而且前面讲的都是静力学中的能量原理，关于动力学中的能量问题，也就是大名鼎鼎的哈密顿原理又是如何？动力学怎么样退化到静力学表达式？高中就熟悉的动能原理，也是动态的能量原理，能不能从最一般的形式得到？这都是值得研究的。

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