今天，从头捋一捋功率谱和能量谱

本文涉及关于功率谱和能量谱的几乎所有相关，虽然各个部分看起来有点分散，但都是。

1. 能量信号与功率信号

如果把 f(t) 看做是电流关于的时间函数，单位为安培（A），那么 f(t) 作用在 1\Omega 的电阻上消耗的瞬时功率为 |f(t)|^2 。如果站在上帝的角度来看，自盘古开天辟地 (t=-\infty) 到宇宙完全毁灭 (t=\infty) 这个电阻消耗的总能量为：

E=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t \\

那么，这个电阻在宇宙的有生之年消耗的平均功率为：

P=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t \\

上帝指示:

• 如果 E 是一个非无穷大也非0的常数，那么 f(t) 就定义为能量有限信号，简称能量信号。显然，能量信号的平均功率 P 为0；
• 如果 P 是一个非无穷大也非0的常数，比如 f(t) 为周期信号或者统计量满足某一分布的随机信号时，那么 f(t) 就定义为功率有限信号，简称功率信号。显然，功率信号的能量 E 为无穷大。

显然，能量信号在无穷远处一定是收敛的；显然，功率信号肯定比能量信号有着更大的能量。

2. 相关函数

相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。相关函数也称为相关积分，它与卷积的运算方法非常类似。

2.1 能量信号的相关函数

对于实函数 f_1(t) 和 f_2(t) ，如果他们是能量信号的话，他们之间的互相关函数定义如下：

R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t) f_{2}(t-\tau) d t=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t+\tau) f_{2}(t) d t \\

注意，下脚的标号在前面的信号领先 \tau . 所以也可以说 f_2(t) 和 f_1(t) 的互相关函数定义为：

R_{21}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t-\tau) f_{2}(t) d t=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t) f_{2}(t+\tau) d t \\

一般情况下，R_{12}(\tau) \neq R_{21}(\tau) ，因为下脚的标号在前面的信号领先 \tau , 所以也可以理解为下脚的标号在后面的信号领先 -\tau ，即：R_{12}(\tau)=R_{21}(-\tau),\quad R_{21}(\tau)=R_{12}(-\tau)

假如说 f_1(t) 和 f_2(t) 是同一信号，都记为 f(t) ,这时就不需要对 R_{12}(\tau) 和 R_{21}(\tau) 进行区分，此时的相关函数称为自相关函数，即：

R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t-\tau) d t=\int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau) f(t) d t \\

容易看出，对自相关函数有：R(\tau)=R(-\tau) ，可见，f(t) 的自相关函数 R(\tau) 是时移 \tau 的偶函数。

2.2 功率信号的相关函数

对于实函数 f_1(t) 和 f_2(t) ，如果他们是功率信号的话，他们之间的互相关函数定义如下：

\left\{\begin{array}{l} R_{12}(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_{1}(t) f_{2}(t-\tau) \mathrm{d} t\right] \\ R_{21}(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_{1}(t-\tau) f_{2}(t) \mathrm{d} t\right] \end{array}\right. \\

自相关函数：

R(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) f(t-\tau) \mathrm{d} t\right] \\

3. 相关与卷积的关系

下面以能量信号为例，梳理一下卷积与相关的联系：

两个函数 f_1(t) 和 f_2(t) 的卷积定义式为:

f_{1}(t) * f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau \\

而他们的互相关函数定义为：

R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t) f_{2}(t-\tau) d t \\

将他们的自变量统一下，则有：

\begin{aligned} \left\{\begin{array}{l} f_{1}(t) * f_{2}(t)&=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau \\ \qquad \:\:R_{12}(t)&=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(\tau-t) d \tau \end{array}\right. \end{aligned} \\

所以他们之间的关系就显而易见了：

R_{12}(t)=f_{1}(t) * f_{2}(-t) \\

由上式可知，若 f_1(t) 和 f_2(t) 均为实偶函数，则卷积与相关的形式完全相同。

4. 帕塞瓦尔定理

由本文第一部分知 f(t) 能量为：

E=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t \\

帕塞瓦尔定理指的是时域和频域内能量是守恒的，若 f(t) 的傅里叶变换为 F(j\omega) ，则该定理可以用公式表示为：

E=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}|F(j \omega)|^{2} \mathrm{~d} \omega \\

证明如下：

因为 f(t) 的傅里叶变换 F(j\omega) 为：

F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j \omega t} \mathrm{~d} t \\

记 F(j\omega) 的共轭为 F^*(j\omega) ，假设 f(t) 为复信号（这样假设适用性更广，也适用于实信号），则：

F^*(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f^*(t) \mathrm{e}^{j \omega t} \mathrm{~d} t \\

所以

\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}|F(j \omega)|^{2} \mathrm{~d} \omega &= \int_{-\infty}^{\infty}F(j \omega)F^*(j \omega) \mathrm{~d} \omega\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}F(j \omega) \mathrm \int_{-\infty}^{\infty} f^*(t) \mathrm{e}^{j \omega t} \mathrm{~d} t {~d} \omega\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f^*(t) \mathrm \int_{-\infty}^{\infty} F(j \omega) \mathrm{e}^{j \omega t} \mathrm{~d}\omega {~d} t \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f^*(t) \cdot 2\pi f(t) \mathrm {~d} t \\ &= 2\pi\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t \end{aligned} \\

所以有：

E=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}|F(j \omega)|^{2} \mathrm{~d} \omega \\

证毕.

5. 能量谱

对于能量信号，为了表征能量在频域中的分布情况，可以借助密度函数的概念，类比概率密度函数，我们可以使用能量密度函数 E(\omega), 将其定义为单位频率内的信号能量。能量密度函数简称为能量频谱或能量谱.

如何得到 f(t) 的能量谱 E(\omega) 的表达式呢？

因为单位频率内的信号能量为 E(\omega) ，所以在频带 \mathrm{~d} f 内信号的能量是 E(\omega)\mathrm{~d} f, 那么信号在整个频率区间 (-\infty,\infty) 内的总能量还可以这么求：

E=\int_{-\infty}^{\infty}E(\omega) \mathrm{~d} f=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}E(\omega) \mathrm{~d} \omega \\

将上式与帕塞瓦尔定理进行对比，则可以得到能量谱表达式为：

E(\omega)=|F(j \omega)|^{2} \\

6. 能量信号的自相关函数与能量谱是一对傅里叶变换

因为能量信号的自相关函数为：

R_{12}(\tau)=f_{1}(\tau) * f_{2}(-\tau) \\

由 时域卷积对应频域相乘 可得到互相关函数的傅里叶变换为：

\begin{aligned} \mathrm{F}\left[R_{12}(\tau)\right] &=\mathrm{F}\left[f_{1}(\tau)^{*} f_{2}(-\tau)\right]\\ &=\mathrm{F}\left[f_{1}(\tau)\right] \mathrm{F} \left[f_{2}(-\tau)\right] \\ &=F_{1}(j \omega) F_{2}(-j \omega)\\ &=F_{1}(j \omega) F_{2}^{*}(j \omega) \end{aligned} \\

所以自相关函数的傅里叶变换为：

\mathrm{F}\left[R(\tau)\right]=F(j \omega) F^{*}(j \omega)=|F(j \omega)|^{2}=E(\omega) \\

所以说，能量信号的自相关函数与能量谱是一对傅里叶变换。

7. 功率谱

周期信号在时间上无始无终，能量必然是无限的，但功率可能是有限的；随机信号，能量也是无限的，且无法用确定的时间函数来表示，所以不存在频谱，这种情况下一般用功率谱来描述其频率特性。暂且把这当做为什么会存在功率谱的一种解释吧。

对于功率信号 f(t) ，因为其能量是无穷大的，我们一般关注的是其平均功率 P，它的定义是：

P \stackrel{\operatorname{def}}{=} \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t \\

如果 f(t) 是实函数，则其平均功率定义为：

P \stackrel{\operatorname{def}}{=} \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f^{2}(t) \mathrm{d} t \\

求功率谱的推导过程如下：

由于功率信号的能量是无穷的，且信号的持续时间是无限的，而计算功率又必须用到持续时间的信息带入上述公式，所以计算功率谱时会将信号进行截断然后取极限来完成，如下图，从 f(t) 中截取 |t| \leq T / 2 的一段, 得到一个截尾函数 f_{T}(t) ：

则 f_{T}(t) 可以表示为:

f_{T}(t)=f(t)\left[\varepsilon\left(t+\frac{T}{2}\right)-\varepsilon\left(t-\frac{T}{2}\right)\right] \\

如果 T 是有限值，则 f_{T}(t) 的能量也是有限的。令:

F_{T}(j \omega)=\mathrm{F}\left[f_{T}(t)\right] \\

由帕斯瓦尔定理, f_{T}(t) 的能量 E_{T} 可表示为:

E_{T}=\int_{-\infty}^{\infty} f_{T}^{2}(t) d t=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left|F_{T}(j \omega)\right|^{2} d \omega \\

由于 \int_{-\infty}^{\infty} f_{T}^{2}(t) d t=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f^{2}(t) d t ，所以 f(t) 的平均功率为：

\begin{aligned} P &\stackrel{\operatorname{def}}{=} \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f^{2}(t) \mathrm{d} t\\ &=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty} f_{T}^{2}(t) d t\\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\left|F_{T}(j \omega)\right|^{2} d \omega \end{aligned} \\

类比能量密度函数的定义，定义 P(\omega) 为功率密度函数，即单位频率内的信号功率，简称功率谱，那么信号在整个频率区间 (-\infty,\infty) 内的功率还可以这么求：

P=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{P}(\omega) \mathrm{d} f=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{P}(\omega) \mathrm{d} \omega \\

比较得到：

\mathrm{P}(\omega)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{\left|F_{T}(j \omega)\right|^{2}}{T} \\

8. 功率信号的自相关函数与功率谱是一对傅里叶变换

因为功率信号的自相关函数为(本文前面已经介绍)：

R(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) f(t-\tau) \mathrm{d} t\right] \\

对两边同时取傅里叶变换，有：

\begin{aligned} \mathrm{F}[R(\tau)] &=\mathrm{F} \quad\left[\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) f(t-\tau) \mathrm{d} t\right] \\ &=\mathrm{F} \quad\left[\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} f_{T}(t) f_{T}(t-\tau) \mathrm{d} t\right] \\ &=\mathrm{F} \quad\left\{\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\left[f_{T}(\tau)^{*} f_{T}(-\tau)\right]\right\} \\ &=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\left|F_{T}(j \omega)\right|^{2} \\ &=\mathrm{P}(\omega) \end{aligned} \\

所以说: 功率信号的自相关函数与功率谱是一对傅里叶变换.

本文首发于微信公众号振动信号研究所