大物学习笔记（四）——简谐运动的能量

目录：

振动的能量（弹簧振子）

• 公式： E=E_{K}+E_{p}=\frac{1}{2}kA^{2}
• E_{k}=\frac{1}{2}kA^{2}sin^{2}(\omega t + \varphi)
• E_{p}=\frac{1}{2}kA^{2}cos^{2}(\omega t + \varphi)
• 单位：J
• 推导过程：在上一篇文章里面就知道了简谐运动的公式满足x=Acos(\omega t + \varphi)。它的速度就是对t的一个求导，也就是v=\frac{dx}{dt}=-A\omega sin(\omega t + \varphi)。这一次，我们要来求他的能量，首先物体的能量肯定分为两部分，势能和动能。而高中我们就知道物体动能的公式 E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}mA^{2}\omega ^{2} sin^{2}(\omega t + \varphi) 。势能是 E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}cos^{2}(\omega t + \varphi) 。在上一篇文章的最后，我们就讲了旋转矢量法形象地展示了 k 与 \omega 之间的关系。所以我们可以把动能进一步写成 E_{k}=\frac{1}{2}kA^{2}sin^{2}(\omega t + \varphi) 。所以就可以得到物体的总能量也就是动能与势能的和 E=E_{K}+E_{p}=\frac{1}{2}kA^{2}\left[ sin^{2}(\omega t + \varphi) +cos^{2}(\omega t + \varphi) \right]=\frac{1}{2}kA^{2}
• 演示图：

• 特点：
• 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。
• 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。
• 频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）

振动的能量（单摆）

• 公式： E=E_{k}+E_{p}=mgh （ h 是速度为0时，摆锤距离零势能面的高度）
• 单位：J
• 推导过程：单摆肯定没什么好说的了，在忽略空气阻力的情况下单摆肯定能量守恒。物体的能量就在动能 和势能之间相互转换。

判断一个振动是否是简谐运动

• 看是否满足 F=kx ，回复力与距离平衡点的距离成正比。这个是简谐运动的定义。所以拿这个来证明是肯定没错的。进一步也可以拿加速度与距离来做一个判断
• 看是否满足简谐运动的运动方程 x=Acos(\omega t + \varphi) 。
• 如果是弹簧振子还可以看，振动的能量是否正比于振幅的平方，用公式来说就是

如果满足这个式子的弹簧振子，那就一定是简谐运动。

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