The amount of variance retained by each principal component is measured by the so-called eigenvalue.
每个主成分保留的变异又通过特征值来表示。
在数据集中的变量彼此高度相关时，主成分分析尤其有用。变量相关就说明数据存在冗余。
上图来感受下什么是高度冗余（两个变量高度相关）：
什么是较低的冗余（两个变量相关不明显）：
2 R中如何实现主成分分析
我们通过R包”FactoMineR”和”factoextra”来实现主成分分析和可视化。
下面我会通过自己的一个实例来展示。
#安装和载入所需要的R包
>install.packages(c(“FactoMineR”,”factoextra”,”ggplot2″))
>library(“FactoMineR”)
>library(“ggplot2”)
>library(“factoextra”)
“FactoMineR”是用来实现数据分析的，“factoextra”是用来实现基于“ggplot2”的可视化的
首先展示一下我的数据：
前两列是样本编号（样本，individuals）和每个样本的采样地点（sites），不参与数据分析。后面31列对应的是31个变量（观测值或者变量，variables）
#从剪切板读取数据，前提是在excel里面已经复制数据集
>collina=read.table(“clipboard”,header=TRUE)
#显示数据框的前几行，确保正确读取数据
>head(collina)
#进行主成成分分析，第1、2列不参与数据分析（第一列是巢编号，第二列是采样地点）
>collina.pca <- PCA(collina[,-c(1,2)],graph = FALSE)
一般在数据分析之前要进行标准化处理（standardization），尤其是当变量的测量单位不同的时候（如千米，厘米等）。标准化的目的是为了让变量可比，总的来说就是标准差为1，平均值为0。
进行标准化时，数据可进行如下转化：
用R自带的scale()可以进行标准化，但FactoMineR里的PCA()已经包括了标准化的步骤，因此不需要额外的标准化处理
3 对主成分分析的解读和可视化
3.1 主成分的特征值（eigenvalues）和方差（variance）
前面说过，特征值衡量的是主成分保留的变异量，第一主成分保留的变异量最大，依次递减。第一主成分也与数据集方差最大的方向相同。通过特征值，我们可以决定主成分的个数。
#提取主成分（PCs）的特征值和保留方差的百分比（信息），输入：
>eig.val <- get_eigenvalue(collina.pca)
>eig.val
出来的结果如下图：
第一列是每个主成分的特征值。
第二列是每个特征值解释的变异的百分比，计算方法是某主成分特征值/特征值的加和。
第三列是累计的变异的百分比
在本例中，第一、二主成分能解释48.9%的变异。
我们在前面说过特征值可以用来决定保留的主成分的个数，那么怎么来确定呢？
方法1 选择特征值大于1 的主成分保留
在数据已经进行标准化处理的前提下，主成分特征值大于1，意味着主成分比标准化后的原始数据集的任一变量解释的方差要多。根据这个标准，本例中可以保留前7个主成分。
方法二 根据累计方差百分比
一般认为主成分的累计方差百分比达到80%以上，就可以了。根据这个标准，本例中可以保留前7个主成分。
当然80%这个值是可变的，如果你认为70%就够了也是可以的。
方法3 做陡坡图来确定
陡坡图就是将主成分按照第二列其，特征值解释的变异的百分比的大小顺序来排列的柱状图。当趋势降低到已经变得差不多小，没有太大减小的趋势时，认为前面的主成分就是可以保留的。
#做陡坡图，确定主成分的个数
>fviz_eig(collina.pca, addlabels = TRUE,ylim = c(0, 32))
结果如下图：
根据陡坡图，本例中，可以保留前4个主成分。
3.2获得和可视化变量结果
3.2.1 获得主成分分析中变量的结果
#获得主成分分析中变量的结果
>var <- get_pca_var(collina.pca)
>var
这个命令可以帮助我们得到关于变量的主成分分析的结果，帮助我们进行变量的作图，具体帮助如下：
var$coord:coordinates of variables to create a scatter plot
var$coord提供用变量做散点图的坐标
var$cos2: represents the quality ofrepresentation for variables on the factor map. It’s calculated as the squaredcoordinates: var.cos2 = var.coord * var.coord.
var$cos2代表的是变量在因子图中代表的变异的质量
var$contrib: contains the contributions(in percentage) of the variables to the principal components. The contributionof a variable (var) to a given principal component is (in percentage) :(var.cos2 * 100) / (total cos2 of the component).
var$contrib代表的是变量对于主成分的贡献（百分比表示）。
#查看前4个变量对主成分的贡献
>head(var$contrib, 4)
# 变量对主成分1（PC1）的贡献作图，显示贡献前20的变量
fviz_contrib(collina.pca, choice =”var”, axes = 1, top = 20)
# 变量对主成分1（PC1）的贡献作图，显示贡献前20的变量
fviz_contrib(collina.pca, choice =”var”, axes = 2, top = 20)
# 变量对主成分1、2（PC1和PC2）的贡献作图，显示贡献前26的变量
fviz_contrib(res.pca, choice =”var”, axes = 1:2, top = 26)
其中红色的虚线代表的是期望的平均贡献，如果变量的超过了这条线，认为是对主成分有重要贡献的。
3.2.2 获得主成分分析中样本（individuals）的结果
>ind <- get_pca_ind(res.pca)
>ind
具体含义和变量的结果类似。
要查看各项结果输入：
# Coordinates of individuals
head(ind$coord)
# Quality of individuals
head(ind$cos2)
# Contributions of individuals
head(ind$contrib)
3.2.3 biplot作图
The representation of variables differs from the plot of the observations: The observations are represented by their projections, but the variables are represented by their correlations.
主成分分析的结果主要通过biplot图来呈现，横坐标是主成分1，纵坐标是主成分2，变量通过与主成分的相关关系表现在图中，样本点通过该样本多个变量的观测值在主成分上的投影表现在图中。输入：
>fviz_pca_biplot(collina.pca,
#individuals
geom.ind = “point”,#只显示样本点，不包括文本信息，即样本编号
fill.ind = collina$sites,#按sites进行分组
pointshape = 21, pointsize = “contrib”,#点的尺寸大小表示样本的贡献
palette = “jco”,#配色选择“jco”杂志的调色板
addEllipses = TRUE,#在相同组的样本点为画出密度椭圆
#variables
col.var = “cos2”,#变量的颜色表示其在因子图中代表的变异的质量，即cos2
gradient.cols = c(“#00AFBB”, “#E7B800”, “#FC4E07”),repel=TRUE,
legend.title = list(fill = “sites”))
出来的PCA分析的biplot图如下：
我们可以看出来，变量的cos2值的大小通过不同的颜色梯度表示出来，每个样本点对主成分的贡献通过点的大小表现出来。两个采样地的样本点也进行了分组。
但是，由于我自身数据的原因，两个采样点的样本分不太开。
